Linear Algebra(10):行列式

线性代数

行列式

什么是行列式

行列式是方阵的一个属性. 矩阵可以表示一组向量，方阵表示n个n维向量.

下面的二维空间可以使用两个二维向量来作为空间的一组基，下面有三组基(三种颜色), 这三组基有什么不同？显然三组基对应的基向量具体都不一样，但是可以不可以只用一个数字表示这些向量组的不同？

对于二维空间来说，每两个向量都组成了一个面积，比如红色的标准基面积为1，绿色的正交基面积为12，蓝色的基组成了一个平行四边形面积，这个面积的大小就可以一定程度刻画不同基的特征.

行列式就是描述n个n维向量所对应的n维体，对于二维空间来说就是面积，三维空间就组成了一个体.

行列式通常有下面两种表示方法：

$det\begin{pmatrix} a &b\\ c&d \end{pmatrix} \quad \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

行列式如何求呢？

如上图所示，可以很自然表示出平行四边形面积：

$det\begin{pmatrix} a &b\\ c&d \end{pmatrix}=(a+c)(b+d)-2bc-cd-ab\\ =ad-bc$

因此对于二阶方阵，其行列式的值：

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$

同时可以注意如果交换向量(a,b)和(c,d)的位置：

$\begin{vmatrix} c & d\\ a & b \\ \end{vmatrix}=bc-ad$

所以行列式表示向量组在空间中形成的有向体积.（求出来的值可能正或负）

在三维及以上空间，体积的方向将变得极其复杂. 简单说，在行列式中，向量排列的顺序是有意义的. 交换两行，则行列式的值取反.

行列式的四大基本性质

行列式就是描述方阵的一个属性，对于这个方阵一行一行来看就是n个n维向量，这n个n维向量在n维空间中会构成一个n维体，这个n维体的有向体积就是行列式对应的值.

性质1： $det I=1$

性质2：交换行列式的两行，则行列式的值取反.

性质3：方阵的某一行乘以一个数k，则其对应的行列式也缩放了k倍.

$\begin{vmatrix} ka & kb \\ c & d \end{vmatrix}=k\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

注意是某一行，而不是所有行. 矩阵的乘法是所有行. 因此 $det(kA)=k^ndet(A)$

性质4：方阵的某一行加上一行数，则有：

$\begin{vmatrix} a+a^, & b+b^, \\ c & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a^, & b^, \\ c & d \end{vmatrix}$

行列式与矩阵的逆

根据上面的性质首先能得到一个推论：如果行列式的两行相同，则行列式的值为0.

$矩阵A交换两行后为A^,\\ det(A)=-det(A^,)\\ 因为两行相同A=A^,\\ det(A)=-det(A)\\ det(A)=0$

推论2：如果行列式的一行是另一行的k倍，则行列式的值为0.

推论3：如果行列式有一行为0，则行列式的值为0.

推论4：如果行列式的一行是其他行的线性组合，则行列式的值为0.

行列式形成了一个向量组，如果这组向量线性相关，则行列式的值为0. 等价于 -------矩阵不可逆.

如果这组向量线性无关，则行列式的值不为0. 等价于-----------矩阵可逆.

$det(A)=0 \iff A不可逆\\ det(A)\ne 0 \iff A可逆$

因此对于一个方阵A，可逆的等价命题如下：

计算行列式的算法

对于一个给定的行列式，具体应该怎么求呢？

性质5：如果一个行列式的一行加(减)零一行的k倍，行列式的值不变.

$\begin{vmatrix} a & b &c \\ d & e &f\\ g & h & i \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a & b &c \\ d & e &f\\ g-ka & h-kb & i-kc \end{vmatrix}$

证明略(太简单了).

一个方阵的行列式的值等于其进行Gauss消元法后的结果（上三角矩阵U）, 等于其进行Gauss-Jordan消元法后的结果. 这里做的Gauss-Jordan消元法不要归一化,不能有行置换和列置换操作.

对角矩阵的行列式：

$\begin{vmatrix} d_1 & 0&... &0 \\ 0&d_2&... & 0\\ ...&...&...&...\\ 0&0&...&d_n \end{vmatrix}=d_1d_2...d_n \quad \begin{vmatrix} d_1 & a_{12}&... &a_{1n} \\ 0&d_2&... & a_{2n}\\ ...&...&...&...\\ 0&0&...&d_n \end{vmatrix}=d_1d_2...d_n \quad \begin{vmatrix} d_1 & 0&... &0 \\ a_{21}&d_2&... & 0\\ ...&...&...&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&d_n \end{vmatrix}=d_1d_2...d_n$

初等矩阵与行列式

行列式有这样一个性质：

$det(A.B)=det(A).det(B)\\$

如果A或者B中的某一行和其他行线性相关，有:

$det(A.B)=0\\ det(A) \quad or \quad det(B)=0$

如果A和B的所有行都线性无关，A和B都能表示成一系列初等矩阵的乘积.

初等矩阵是对单位矩阵进行初等行操作

假设矩阵A可以拆解为一系列初等矩阵：

$det(A.B)=det(E_k...E_2E_1B)$

如果E是单位矩阵的某一行乘以k,

$det(E)=k$

如果E是单位矩阵的某两行交换，

$det(E)=-1$

如果E是单位矩阵的某一行加(减)另一行的k倍，

$det(E)=1$

显然容易证明：

$det(E.B)=det(E).det(B)$

因此

$det(E_k...E_2E_1B)=det(E_k).det(E_{k-1})...det(E_2).det(E_1).det(B)\\ det(A.B)=det(A).det(B)\\ det(A.B)=det(E_k...E_2E_1B)=det(E_k).det(E_{k-1})...det(E_2).det(E_1).det(B)\\ det(A)=det(E_k).det(E_{k-1})...det(E_2).det(E_1).det(I)\\ 得证det(A.B)=det(A).det(B)$

如果把B换成A的逆可得：

$det(A.B)=det(A).det(B)\\ det(A.A^{-1})=det(A).det(A^{-1})\\ det(I)=det(A).det(A^{-1})\\ det(A).det(A^{-1})=1\\ det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$

这里 $det(A)$ 在分母的位置，意味着如果要求出 $A^{-1}$ 的行列式， $det(A)$ 不能为0. 侧面说明了如果矩阵A存在逆的话， $det(A)\ne0$ .

行式等于列式

对于行列式还有一个重要的性质：

$det(A)=det(A^T)$

证明:

$任意矩阵A可以分解称PLUP^,\\ det(A)=det(PLUP^,)=det(P).det(L).det(U).det(P^，)\\ det(A^T)=det((PLUP^,)^T)==det(P^{,T}).det(U^T).det(L^T).det(P^T)\\得证$

前面的所有性质都是基于行，换成列一样存在.

行列式的一些话题

我们线性代数课本中行列式的代数表达式：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}&... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}&... &a_{2n} \\ ...&...&...&...\\ a_{n1} & a_{n2}&... &a_{nn} \end{vmatrix}=\sum_{i=1}^na_{1i}A_{1i}\\ A_{1i}=(-1)^{i+1}M_{1i}$